اثبات قضیه استوارت

برهان:در مثلث زیر زاویه$\angle AXB$$\theta$رادر نظر می گیریم

\includegraphics{stewart}

بنابر قضیه کسینوسها در $\triangle AXB$    داریم     $c^2=m^2 + p^2-2pm\cos \theta$و بنابراین

\begin{displaymath}\cos \theta =\frac{m^2+p^2-c^2}{2pm}\end{displaymath}

$\psi=\angle AXC=180^\circ-\theta$ و همانطورکه میدانیم $\cos \theta=-\cos\psi$ پس:

\begin{displaymath}\cos \theta =\frac{b^2-n^2-p^2}{2pn}.\end{displaymath}

حالا با این توضیح هایی که داده شد نتیجه میگیریم:

\begin{displaymath}2pn(m^2+p^2-c^2)=2pm(b^2-n^2-p^2).\end{displaymath}

$2p$ را از طرفین میزنیم وسپس با ضرب توی پرانتز داریم:
\begin{displaymath}m^2n +mn^2 +p^2n +p^2m = b^2m + c^2 n\end{displaymath}

 حالا با فاکتور گرفتن داریم $mn(m+n)+p^2(m+n)=b^2m+c^2n$. 
اگه تو شکل دقت کنی:
$a=m+n$


\begin{displaymath}a(mn+p^2)=b^2m+c^2n.\end{displaymath}

این است حکم !!!

منبع اثبات رو از اینجا ببینین راستی بگم ترجمه خودمه!پس نظر یادتون نره!