برهان:درابتدا با مثلث زیر شروع می کنیم:

$\displaystyle \begin{xy} ,(0,0) ;(40,0)**@{-} ;(60,30)**@{-} ;(0,0)**@{-} ,(20,-3)*{c} ,(7,2)*{\theta} ,(50,12)*{a} ,(30,17)*{b} \end{xy}$
سپس xوyرا به این صورت اضافی میکنیم$\displaystyle \begin{xy} ,(0,0) ;(40,0)**@{-} ;(60,30)**@{-} ;(0,0)**@{-} ,(20,... ...)*{b} ,(40,0) ;(60,0)**@{--} ;(60,30)**@{--} ,(50,-3)*{x} ,(63,15)*{y} \end{xy}$

این همه چیزیه که ما نیاز داریم،حال ما ازقضیه فیثاغورث استفاده می کنیم [واضح است که]

$\displaystyle a^2 = x^2 + y^2 $
و
$\displaystyle b^2 = y^2 + \left(c+x\right)^2 $

حالا از ترکیب این دو تا داریم:

$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2 + b^2 - \left(c+x\right)^2$  
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2 + b^2 - c^2 - 2cx - x^2$  
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b^2 - c^2 - 2cx$  

حال چیزی که ما نیاز داریم نوشتن xبر حسب کسینوس هاست: (اگه یه کم روشکل دقت کنین خیلی سادس)
$\displaystyle c + x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b \cos\theta$



 
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cos\theta - c$



 

حالا وقت جای گذاری عبارت به جای xاست:


$\displaystyle b^2 - c^2 - 2cx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$  

$\displaystyle b^2 - c^2 - 2c\left( b\cos\theta - c\right)$ $\displaystyle =$
 $\displaystyle a^2$

$\displaystyle b^2 - c^2 -2bc\cos\theta + 2c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$  

$\displaystyle b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$ (1)

منبع اثبات رو از اینجا ببینین راستی بگم ترجمه خودمه!پس نظر یادتون نره!